Если в квадратной матрице выполняется равенство (где , -ненулевой столбец и – число), то число называется собственным значением (или характеристическим числом) матрицы порядка , а столбец называется собственным вектором (столбцом) матрицы соответствующий собственному значению . Множество всех собственных значений матрицы совпадает с множеством всех решений уравнения , где – независимая переменная. Если раскрыть определитель , то получится многочлен -й степени относительно :
этот многочлен называется характеристическим многочленом матрицы А. Его коэффициенты зависят от элементов матрицы , причем . Уравнение называется характеристическим уравнением матрицы . Множество всех собственных векторов матрицы , принадлежащих ее собственному значению , совпадает с множеством всех ненулевых решений системы однородных уравнений . Пример1. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы
Решение. Составим характеристическое уравнение:
Отсюда собственные числа данной матрицы:
Найдем собственные векторы, соответствующие этим собственным значениям Подставим собственное число в систему однородных уравнений и найдем ее нетривиальное решение.
Ранг матрицы r=1, ФСР содержит (n-r)=1 решение. Пусть , тогда . Получаем собственный вектор
Рассмотрим собственное значение
Положим , тогда . Получаем собственный вектор Пример2. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы
Решение. Составим характеристическое уравнение:
Собственные числа данной матрицы:
Найдем собственные векторы, соответствующие .
Ранг матрицы r=1, ФСР содержит (n-r)=3-1=2 решения. Зададим два набора значений свободных переменных и составим два собственных вектора
Найдем собственные векторы, соответствующие .
Ранг матрицы r=2, ФСР содержит (n-r)=3-1=1 решение. Зададим значение свободной переменной и составим собственный вектор
Множество всех собственных значений матрицы
этот многочлен называется характеристическим многочленом матрицы А. Его коэффициенты
Уравнение
называется характеристическим уравнением матрицы
Множество всех собственных векторов матрицы
Пример1. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы
Решение. Составим характеристическое уравнение:
Отсюда собственные числа данной матрицы:
Найдем собственные векторы, соответствующие этим собственным значениям
Подставим собственное число
Ранг матрицы r=1, ФСР содержит (n-r)=1 решение. Пусть
Рассмотрим собственное значение
Положим
Пример2. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы
Решение. Составим характеристическое уравнение:
Собственные числа данной матрицы:
Найдем собственные векторы, соответствующие
Ранг матрицы r=1, ФСР содержит (n-r)=3-1=2 решения. Зададим два набора значений свободных переменных и составим два собственных вектора
Найдем собственные векторы, соответствующие
Ранг матрицы r=2, ФСР содержит (n-r)=3-1=1 решение. Зададим значение свободной переменной и составим собственный вектор
Полезные ресурсы:
http://mathhelpplanet.com/static.php?p=sobstvennye-vektory-i-sobstvennye-znacheniya-matritsy
http://webmath.exponenta.ru/s/pyartli1/node80.htm
http://mathportal.net/index.php/vektornaya-algebra/sobstvennye-chisla-i-vektora-matrits-metody-ikh-nakhozhdeniya
http://www.mathprofi.ru/sobstvennye_znachenija_i_sobstvennye_vektory.html
Калькуляторы:
http://www.kontrolnaya-rabota.ru/s/matrix/sobstvennyie/
http://www.mathforyou.net/MEig.html
http://math.semestr.ru/gauss/ownvectors.php
http://matrixcalc.org/vectors.html